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\newtheorem{definition}{Definition}[section]%定义
\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]%定理
\newtheorem{axiom}{Axiom}[section]%公理
\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]%引理
\newtheorem{proposition}{Proposition}[section]%命题
\newtheorem{corollary}{Corollary}[section]%推论
\newtheorem{remark}{Remark}[section]%注


\title{\heiti\zihao{2} 习题1.1}
\author{20373963-樊若宸}
\date{\today}

\begin{document}
\maketitle
\section{写出下列随机试验的样本空间}
(1) 对同一目标射击三次, 记录射击结果

\textbf{解:}\quad 
若考虑击中顺序,则可令$$\Omega = \{HHH,HHM,HMH,MHH,HMM,MHM,MMH,MMM\}$$

其中$H$代表击中(Hit), $M$代表没有击中(Miss). 

如果不考虑击中次序,仅考虑击中次数,则可令$$\Omega=\{0,1,2,3\}$$

(3) 射击一目标, 直至击中目标为止, 记录射击次数

\textbf{解:}\quad 

$$\Omega=\{1,2,3,4,5,\cdots\}$$

(5) 往数轴上任意投掷两个质点, 观察它们之间的距离

\textbf{解:}\quad 

$$\Omega = \mathbb{R}$$

\section{设A, B, C为3个随机事件, 试用A, B, C表示下列各事件:}
(1) $A, B, C$ 中恰好 $A$ 发生;

\textbf{解:}\quad $A\bar{B}\bar{C}$ (若恰好的意思是A发生则BC不发生) $A$ (若恰好的意思是A发生)

(2) $A, B, C$ 恰有一个发生;

\textbf{解:}\quad $A\bar{B}\bar{C}+\bar{A}B\bar{C}+\bar{A}\bar{B}C$

(3) $A, B, C$ 恰有两个发生;

\textbf{解:}\quad $AB\bar{C}+A\bar{B}C+\bar{A}BC$

(4) $A, B, C$ 至少有一个发生;

\textbf{解:}\quad $$A\bar{B}\bar{C}+\bar{A}B\bar{C}+\bar{A}\bar{B}C+AB\bar{C}+A\bar{B}C+\bar{A}BC+ABC$$ 

或者 $$\overline{\bar{A}\bar{B}\bar{C}}$$

或者 $$A+B+C$$

(5) $A, B, C$ 至少有两个发生;

\textbf{解:}\quad $$AB\bar{C}+A\bar{B}C+\bar{A}BC + ABC$$ 

或 $$\overline{\bar{A}\bar{B}\bar{C}+A\bar{B}\bar{C}+\bar{A}B\bar{C}+\bar{A}\bar{B}C}$$

或 $$AB+BC+CA$$

(6) $A, B, C$ 不多于一个发生;

\textbf{解:}\quad $$\bar{A}\bar{B}\bar{C}+A\bar{B}\bar{C}+\bar{A}B\bar{C}+\bar{A}\bar{B}C$$ 

或 $$\overline{AB\bar{C}+A\bar{B}C+\bar{A}BC + ABC}$$

或 $$\overline{AB+BC+CA}$$

(7) $A, B, C$ 不多于两个发生;

\textbf{解:}\quad $$\bar{A}\bar{B}\bar{C}+A\bar{B}\bar{C}+\bar{A}B\bar{C}+\bar{A}\bar{B}C+AB\bar{C}+A\bar{B}C+\bar{A}BC$$ 

或 $$\overline{ABC}$$

(8) $A, B, C$ 同时发生;

\textbf{解:}\quad $ABC$ 

(9) $A, B, C$ 都不发生.

\textbf{解:}\quad $\bar{A}\bar{B}\bar{C}$

\section{化简下列各式:}
(1) $(A+B)(A+\bar{B})$;

\textbf{解:}\quad

$$
\begin{aligned}
    (A+B)(A+\bar{B}) & = (A+B)A+(A+B)\bar{B}\\
    &=A+AB+A\bar{B}+B\bar{B}\\
    &=A+\varnothing =A
\end{aligned}
$$

(2) $(A+B)(A+\bar{B})(\bar{A}+B)$

\textbf{解:}\quad

$$
\begin{aligned}
    (A+B)(A+\bar{B})(\bar{A}+B) & = A(\bar{A}+B)\\
    &=\varnothing + AB = AB
\end{aligned}
$$

\end{document}